Astronomski Magazin

22. jun 2010.

Piše: Milenko Vasović, Blic

Nedavno je dnevni list "Blic" napravio izbor 10 najvećih matematičkih zagonetki svih vremena.

1. Arhimedov Stomakion, oko 250. pne

Godine 1941. Matematičar G. H. Hardi napisao je da će se „Arhimed pamtiti, a dramski pisac Eshil zaboraviti, jer jezici izumiru, a matematičke ideje žive večno“. I stvarno, starogrčki geometričar smatra se najvećim naučnikom antike. Godine 2002. istoričar matematike Revijel Nec sagledao je na nov način Arhimedov rad o slagalici poznatoj kao „Stomakion“.

Proučavajući taj drevni spis, on je shvatio da zagonetka spada u oblast kombinatorike, matematičke grane koja proučava na koliko načina jedan problem može da se reši. Zadatak „Stomakiona“ jeste da otkrijete na koliko načina 14 oblika slagalice može da se složi tako da čine kvadrat. Godine 2003. matematičari su pronašli rešenje: na 17.152 načina.

2. Život na šahovskoj tabli, 1256.

Problem Sisine šahovske table, koji je razmatrao arapski istoričar Ibn Halikan 1256. godine, koristi se vekovima da bi se demonstrirala geometrijska progresija, i jedna je od najstarijih šahovskih zagonetki. Legenda kaže da je kralj Širham ponudio nagradu koja se sastojala od zrna žita raspoređenih na šahovskoj tabli: jedno zrno na prvom polju, dva na drugom, četiri na trećem i tako do poslednjeg - 64. polja.

Međutim, kralj nije shvatio koliko će to biti žita. Ispalo je da kralj treba da pokloni 18.446.744.073. 709.551.615 zrna žita. Time bi se napunili vagoni koji 1.000 puta „obavijaju“ Zemlju.

3. Hanojska kula, 1883.

Čuvenu Hanojsku kulu izmislio je francuski matematičar Eduar Lika 1883. godine, a prvobitno se prodavala kao igračka. Zadatak se sastoji u tome da se krugovi, poređani po veličini na jednom stubiću (najmanji je na vrhu), premeste na drugi stubić u najmanjem broju poteza. U jednom potezu dozvoljeno je prenošenje samo jednog kruga, pri čemu se veći ne sme stavljati na manji. Pri prenošenju je dozvoljeno korišćenje sva tri stubića.

Ispostavlja se da najmanji broj poteza iznosi 2^n - 1, gde je n broj krugova. To znači da ako imamo 64 kruga i svaki pomeramo brzinom od jedne sekunde, premeštanje će trajati približno 585 milijardi godina.

4. Kanap oko sveta, 1702.

Ovaj „biser“ iz 1702. godine pokazuje kako intuicija može da nas prevari.

Zamislite da imate kanap koji je čvrsto obavijen oko „ekvatora“ košarkaške lopte. Koliko treba da produžite kanap da bi on bio jednu stopu (30 cm) udaljen od svake tačke duž te linije? Zamislite zatim da kanap obavija loptu veličine Zemljine kugle, što znači da je dugačak približno 40.234 kilometra. Koliko morate da ga produžite pa da bude udaljen od tla jednu stopu (30 cm) duž celog ekvatora?

Odgovor će vas iznenaditi: kanap će biti u oba slučaja, i za loptu i za Zemlju, duži za 2 π (ili oko 191 santimetar). Ako je r poluprečnik Zemlje, a 1+r poluprečnik uvećanog kruga u santimetrima, možemo da uporedimo obim kružnica pre - 2 π r - i posle - 2 π (1 + r).

5. Kenizberški mostovi, 1736.

Teorija grafova je matematička oblast koja se bavi načinima povezanosti predmeta i često ima oblik problema sa tačkicama i linijama koje ih povezuju. Jedan od najstarijih takvih problema odnosi se na mostove grada Kenigzberga (današnjeg Kalinjingrada) koji povezuju dve obale reke i dva ostrva.

Početkom 18. veka ljudi su se zapitali da li mogu da pređu preko svih sedam mostova, a da pri tom ne pređu nijedan most dva puta i da se vrate odakle su krenuli. Godine 1736. švajcarski matematičar Leonard Ojler dokazao je da je to nemoguće. Danas se teorija grafova koristi u proučavanju protoka saobraćaja i društvenih mreža korisnika Interneta.

6. Problem princa Ruperta, 1816.

Oko 1600. godine bavarski vojvoda Rupert postavio je čuveno geometrijsko pitanje: može li jedna kocka da se provuče kroz otvor u drugoj kocki istih ili manjih dimenzija, a da se pri tom kocka ne raspadne? Odgovor glasi: može. Do rešenja ove zagonetke došao je matematičar Piter Niuvland, a objavio ga je 1816. godine. Ako držite kocku tako da je jedna ivica okrenuta ka vama, videćete pravilan šestougao. Najveći kvadrat koji može da se provuče kroz kocku ima stranicu koja može da stane u taj šestougao.

7. Slagalica sa 15 brojeva, 1874.

„Igra 15“ izazvala je pravi bum u 19. veku. Danas možete da kupite varijaciju ove slagalice koja se sastoji od 15 pločica sa brojevima i jednog praznog mesta. Zadatak se sastoji u tome da pomeranjem pločica levo, desno, gore i dole poređate brojeve po redu: od 1 do 15. Igru je 1874. godine smislio Nojes Palmer Čepman, šef jedne njujorške pošte.

8. Problem 36 oficira, 1779.

Zamislite vojsku od šest pukova, od kojih se svaki sastoji od šest oficira različitih činova. Godine 1779. Leonard Ojler je postavio pitanje: da li je moguće rasporediti 36 oficira u kvadratnu formaciju 6 x 6 tako da svaka vrsta i kolona sadrži po jednog oficira svakog ranga iz svakog puka? Ojler je zaključio da rešenje ne postoji, a francuski matematičar Gaston Tari je to i dokazao 1901. godine.

Ovaj problem je podstakao značajne radove na polju kombinatorike. Ojler je dokazao da problem nema rešenje ni u slučaju formacije n x n ukoliko je n = 4k + 2, gde je k pozitivan ceo broj. Ojlerov problem nije razrešen sve do 1959. godine kada su matematičari našli rešenje za formaciju 22 x 22.

9. Rubikova kocka, 1974.

Rubikovu kocku izmislio je mađarski vajar i profesor arhitekture Erne Rubik 1974. godine. Do 1982. godine deset miliona kocki prodato je u Mađarskoj, više nego što ova zemlja ima stanovnika. Veruje se da je širom sveta prodato preko 350 miliona takozvanih „mađarskih kocki“. Kocku čini 3 x 3 x 3 reda manjih kocki čijih je šest strana obojeno u različite boje. Dvadeset šest spoljnjih manjih kocki su tako spojene da se tih šest stranica mogu okretati.

Cilj igračke je da se njeni delovi postave tako da svaka strana bude u jednoj boji. Ukupno ima 43.252.003.274.489.856.000 različitih načina sklapanja manjih kocki. Kada biste imali po jednu kocku za sve ove „legalne“ položaje, mogli biste da pokrijete površinu Zemlje, uključujući i okeane, oko 250 puta.

10. Raselov paradoks, 1901.

Godine 1901. britanski filozof i matematičar Bertrand Rasel otkrio je mogući paradoks koji je uvodio potrebu za modifikovanjem teorije skupova. Jedna verzija Raselovog paradoksa govori o gradu sa jednim muškim berberinom koji svakog dana brije one muškarce koji ne briju sami sebe, i nikog drugog. Da li berberin brije samog sebe?

Po ovom scenariju ispada da se berberin brije ako i samo ako ne brije sebe! Rasel je shvatio da mora da izmeni teoriju skupova kako bi izbegao ovakvu konfuziju. Jedan od načina da se obori ovaj paradoks sastojao bi se u tome da jednostavno kažemo da takav berberin ne postoji. Uprkos tome, matematičari Kurt Gedel i Alan Turing otkrili su da je Raselova teorija korisna za proučavanje različitih grana matematike i obrade informacija.

Izvor: Blic.